在此之前,经典佩尔方程的整数解情况已得到证明:
(资料图片)
当d≤0或d为某大于0的完全平方数时,该方程有唯一解:x=±1,y=0;当d>0且不是完全平方数时,该方程有无数组正整数解。
不过数学家们的探究精神一般不会止步于此。
有人提出将等号右边的1变成-1,并将这个新的方程称为 负佩尔方程( II型佩尔方程) ,结果整数解的情况立刻变得复杂了许多。
时间拨到1993年,当时数学家彼得·史蒂文哈根 (Peter Stevenhargen) 提出了一个公式,对负佩尔方程的整数解情况给出一个精确的答案。
而这个猜想提出后的 30年,数学界一直无法证明它的正确性。
但现如今,来自康考迪亚大学的卡罗·帕加诺 (Carlo Pagano) 和密歇根大学的皮特·科伊曼斯 (Peter Koymans) ,终于给出了猜想的“正解”。
帕加诺的导师Hendrik Lenstra教授甚至对此评价说:
这个成果为数论的一个分支开辟了新篇章。
数论中的经典:佩尔方程
在介绍负佩尔方程之前,让我们先来了解一下经典的佩尔方程从何而来。
佩尔方程,其实与佩尔完全无关。
这一理论最早由费马 (Pierre de Fermat)进行深入研究,由拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange)给出解决方案,但后来因为被欧拉 (Leonhard Euler)误记为佩尔提出,就阴差阳错的流传下来。
它的具体形式为:x 2 -d*y 2 =1
当d是正整数且不是完全平方数,则存在无穷多个解。
举个例子,数学史上有个经典的“阿基米德群牛问题”:
太阳神养了一群牛,这些牛有公有母,分白色、黑色、黄色和花色四种颜色,给定一系列条件,求解牛的总数有多少?各种颜色的牛分别是多少?
这个问题起一直以来吸引了很多数学家的兴趣,最后经过一系列计算,被演化为求解一个佩尔方程:
2000年,伦斯查 (Lenstra)完全解决了这个问题,他得出了阿基米德群牛问题的所有解:
不仅解的数量多,牛的最小数量也让人惊呼:或许只有真·太阳神才能管理了。
不同于佩尔方程,负佩尔方程的整数解情况要复杂得多。
负佩尔方程
前文提到,负佩尔方程可表示为: x 2 -d*y 2 =-1 ;d为整数。
显然,当d≤0,以及d为大于1的完全平方数时,方程无整数解。
此外,负佩尔方程的整数解复杂性还体现在:
负佩尔方程中的很多d值都无整数解。据已知规则得出,d不能是3、7、11、15的倍数等。
但除了这些值外,并不是其他的d值就一定有整数解。
例如当d=3时,x 2 –3*y 2 =-1,无论沿着数轴看多远,都永远找不到解。
但事实上,排除3、7、11、15的倍数后,并不是取其他的d值,负佩尔方程就一定有整数解。
给定d值后,首先需要求出负佩尔方程的基本解。
对负佩尔方程的求通解可使用这个公式:
其中,这里的n为任意正整数;a和b则是负佩尔方程的基本解,并有如下等式:
x 0 和y 0 就是经典佩尔方程的基本解。
更多与之相关的细节研究可参考论文:
研究者简介
最后,来看看这两位证明这个30年前猜想的数学家们吧——
卡罗·帕加诺 (Carlo Pagano) ,是加拿大康考迪亚大学的助理教授,主要研究方向是数论。
此前分别获得了格拉斯哥大学和马克斯·普朗克研究所的数学博士后学位,博士毕业于莱顿大学数学专业,导师是Hendrik Lenstra。
皮特·科伊曼斯 (Peter Koymans) ,目前正在密歇根大学攻读博士后,主要研究方向是数论及其周边领域。
此前在马克斯·普朗克数学研究所从事博士后研究,博士毕业于莱顿大学数学专业,导师是Jan-Hendrik Evertse和Peter Stevenhagen。
可以看出,两人的学习轨迹有很多重合的部分,不仅如此,他们在研究生时期也是同学。
为了这项研究,两人整整一年天天见面,每天在黑板上进行各种演算,互相完善对方提出来的想法,就连午餐时间都不放过,如果有人在独处时有了新想法,就会随时发短信通知另一个人。
尽管非常有挑战性,科伊曼斯却在回忆起这段时间时说:“我们一起做这件事很有趣。”
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